الفائدة المركبة سهلة التحديد وسهلة التقليل من شأنها. الفائدة تكسب الفائدة، وعلى مدى فترة طويلة بما فيه الكفاية، تنتهي الفائدة أكبر من الأموال التي تضعها. تتناسب الصيغة مع سطر واحد، ولكن هناك خيارات صغيرة بداخلها (عدد مرات تفاقم الفائدة، سواء قمت بالإيداع في بداية الشهر أو نهايته، سواء كان السعر قبل التضخم أو بعده) تحرك الإجابة بالآلاف.
يعمل هذا الدليل من خلال الصيغة يدويًا باستخدام الأرقام التي يمكنك التحقق منها على حاسبة الهاتف، ثم يوضح كيف تغير المساهمات المنتظمة والتردد المركب والتضخم النتيجة. مجاني حاسبة الفائدة المركبة يقوم بتشغيل كل مثال أدناه، حتى تتمكن من المتابعة ثم تبديل الأرقام الخاصة بك.
ليرة تركية؛DR: تنمو الفائدة المركبة في الرصيد بمقدار A = P (1 + r/n)^(nt)، حيث P هو المبلغ الأولي، r المعدل السنوي كعلامة عشرية، n الفترات المركبة في السنة وt السنوات. 1000 دولار بنسبة 5% شهريًا لمدة 10 سنوات تصبح 1،647.01 دولارًا. تضيف الودائع العادية C × ((1 + i)^N - 1) /i في الأعلى. تتعامل حاسبة الفائدة المركبة Toolz مع كليهما، وتظهر المعدل السنوي الفعلي والجدول الزمني سنة بعد سنة، وتدير جانب العميل مجانًا، بدون تسجيل. النتائج قبل الضرائب والتضخم، ويظل المعدل ثابتًا، لذا تعاملهما كسيناريوهات، وليس توقعات.
ما هي الفائدة المركبة؟
الفائدة المركبة هي الفائدة المحسوبة على الوديعة الأصلية بالإضافة إلى جميع الفوائد المضافة إليها بالفعل. في الفترة الأولى تكسب فائدة فقط على ما تضعه. في كل فترة لاحقة تكسب فائدة على رصيد أكبر، لأن الفائدة في الفترة الماضية '؛ أصبحت الآن جزءًا منه.
وعلى النقيض من ذلك، يتم احتساب الفائدة البسيطة دائمًا على الوديعة الأصلية وحدها. الفرق صغير في البداية وكبير لاحقًا. خذ 10000 دولار بنسبة 5% سنويًا لمدة ثلاث سنوات
| سنة | رصيد فائدة بسيط | رصيد الفوائد المركبة (سنوي) |
|---|---|---|
| يبدأ | 10،000.00 دولار | 10،000.00 دولار |
| 1 | 10،500.00 دولار | 10،500.00 دولار |
| 2 | 11،000.00 دولار | 11،025.00 دولارًا |
| 3 | 11،500.00 دولار | 11،576.25 دولارًا |
وبعد عام واحد يتطابق الاثنان. وفي السنة الثانية، يكسب الرصيد المركب 5% على 10500 دولار، أي 525 دولارًا بدلاً من 500 دولار. وبحلول السنة الثالثة تبلغ الفجوة 76.25 دولارًا. قم بتمديد نفس المقارنة إلى 20 عامًا بنسبة 6% وتنمو الفجوة على 10000 دولار إلى حوالي 10000 دولار: تصل الفائدة البسيطة إلى 22000 دولار بينما يصل المركب السنوي إلى حوالي 32071 دولارًا.
يشرح موقع تعليم المستثمرين التابع لهيئة الأوراق المالية والبورصة الأمريكية '؛ نفس الفكرة ويقدم فكرته الخاصة حاسبة الفائدة المركبة على Investor.gov، وهو رأي ثانٍ مفيد للتحقق من النتائج.
ما هي صيغة الفائدة المركبة؟
الصيغة القياسية لإيداع واحد هي:
A = P × (1 + r/n)^(n × t)
A = final amount
P = principal (starting amount)
r = annual interest rate as a decimal (5% = 0.05)
n = number of times interest compounds per year
t = number of years
القطعة الموجودة بين قوسين، r/n، هي المعدل لكل فترة مركبة. الأس، n × t، هو العدد الإجمالي للفترات.
مثال عملي: 1000 دولار بنسبة 5% شهريًا، لمدة 10 سنوات
- المعدل لكل فترة: 0.05 / 12 = 0.0041667
- عدد الفترات: 12 × 10 = 120
- عامل النمو: 1.0041667^120 = 1.647009
- المبلغ النهائي: 1000 × 1.647009 = 1،647.01 دولار
الفائدة المكتسبة هي 647.01 دولارًا. اكتب 1000 و5 و10 وشهريًا في الآلة الحاسبة بدون مساهمة متكررة والقيمة المستقبلية تقرأ 1،647.01.
للتحقق من الخطوة 3 بدون آلة حاسبة علمية، ارفع 1.0041667 إلى القوة الثانية عشرة أولاً (1.051162)، ثم ارفع ذلك إلى القوة العاشرة.
كيف يغير التردد المركب النتيجة؟
ويكسب التركيب الأكثر تواترا أكثر قليلا، ولكن التأثير أصغر مما يتوقعه معظم الناس. ما يتغير هو المعدل السنوي الفعلي، وهو العائد الذي تحصل عليه على مدار عام كامل بمجرد حساب المركب. تنشره البنوك في الولايات المتحدة كنسبة مئوية من العائد السنوي، أو APY، بموجب قانون الحقيقة في الادخار؛ قواعد الحساب موجودة اللائحة د.
المعدل السنوي الفعلي لفترات n هو (1 + r/n)^n - 1. بالنسبة للتركيب المستمر فهو e^r - 1. بمعدل اسمي 5%:
| تفاقم | فترات في السنة | المعدل السنوي الفعلي | 10000 دولار بعد سنة واحدة |
|---|---|---|---|
| سنويا | 1 | 5.00% | 10،500.00 دولار |
| نصف سنوي | 2 | 5.06% | 10،506.25 دولار |
| ربع سنوي | 4 | 5.09% | 10،509.45 دولار |
| شهري | 12 | 5.12% | 10،511.62 دولار |
| يوميًا | 365 | 5.13% | 10،512.67 دولار |
| بشكل مستمر | لانهائي | 5.13% | 10،512.71 دولار |
يضيف الانتقال من سنوي إلى شهري حوالي 11.62 دولارًا سنويًا على 10000 دولار. الانتقال من شهري إلى يومي يضيف حوالي دولار. المعدل وعدد السنوات مهمان أكثر بكثير من الجدول الزمني المركب.
التردد مهم أكثر عند المعدلات المرتفعة، ولهذا السبب يظهر على الديون. بطاقة الائتمان التي تتقاضى معدل فائدة سنوي مركب بنسبة 24% شهريًا لها معدل سنوي فعال يبلغ 1.02^12 - 1 = 26.82%. نفس الرياضيات التي تجعل المدخرات تنمو تجعل الرصيد غير المدفوع ينمو.
تعرض الآلة الحاسبة المعدل السنوي الفعلي بجوار كل نتيجة، لذا يمكنك مقارنة حسابين يقتبسان نفس المعدل الاسمي بمركبات مختلفة.
كيف تغير المساهمات المنتظمة الصيغة؟
يتم التعامل مع الودائع العادية بالقيمة المستقبلية للمعاش السنوي، مضافًا إليها نمو المبلغ الأولي
FV = P × (1 + i)^N + C × ((1 + i)^N - 1) / i
i = rate per period (r / n)
N = total number of periods
C = contribution per period
يفترض هذا الإصدار إيداع الأرض في نهاية كل فترة، وهو ما يسمى المعاش السنوي العادي. عندما تقوم الودائع بإيداع الأرض في بداية كل فترة، والتي تسمى القسط السنوي المستحق، فإن كل وديعة تكسب فترة فائدة إضافية واحدة، وبالتالي يتم ضرب جزء المساهمة في (1 + i).
مثال عملي: توقعات التقاعد لمدة 30 عاما
مبلغ البدء 25.000، المعدل السنوي 6%، مركب شهرياً، 30 سنة، بالإضافة إلى 500 شهرياً مودعة في نهاية كل شهر.
- المعدل لكل فترة: 0.06 / 12 = 0.005
- الفترات: 12 × 30 = 360
- عامل النمو: 1.005^360 = 6.022575
- ينمو المبلغ المبدئي إلى 25000 × 6.022575 = 150564.38
- تنمو المساهمات إلى 500 × (6.022575 - 1) /0.005 = 500 × 1،004.515 = 502،257.52
- القيمة المستقبلية: 150،564.38 + 502،257.52 = 652،821.90
إجمالي المودعة هو 25،000 + (500 × 360) = 205،000، وبالتالي فإن إجمالي الفائدة هو 447،821.90. المعدل السنوي الفعلي هو 1.005^12 - 1 = 6.17%.
قم بتبديل توقيت المساهمة إلى بداية الفترة ويتم ضرب الخطوة 5 في 1.005، مما يعطي 504،768.81 وقيمة مستقبلية قدرها 655،333.19. تبلغ قيمة الإيداع في الأول من الشهر بدلاً من الأخير حوالي 2500 على مدى 30 عاماً في هذا السيناريو.
الجدول الزمني سنة بعد سنة يجعل التسارع مرئيا. الفائدة المقيدة في السنة الأولى هي 1،709.73. الفائدة المقيدة في السنة 30 هي 37،734.93، أي أكثر من 6،000 مودعة في تلك السنة ست مرات.
ماذا يظهر المثال الافتراضي للآلة الحاسبة '؛؟
تبدأ الآلة الحاسبة بمبلغ يبدأ من 10،000، بمعدل سنوي 7%، 20 سنة، مركب شهري و200 شهريًا في نهاية كل شهر. والنتيجة هي قيمة مستقبلية قدرها 144،572.72 من 58،000 مودعة، أي 86،572.72 فائدة.
قم بتغيير تردد المركب فقط إلى سنوي وتنخفض النتيجة إلى 140،204.12. وهذا فرق يبلغ حوالي 4،369، وهو أكبر مما هو عليه في جدول الوديعة الواحدة أعلاه لأن الرصيد أكبر والمدى أطول، ولكنه لا يزال متواضعا بجانب تأثير المعدل أو السنوات.
قم بتغيير السنوات فقط من 20 إلى 30 والقيمة المستقبلية أكثر من الضعف. الوقت هو أقوى رافعة في الصيغة لأنه يقع في الأس.
كيف تقوم حاسبة Toolz بحساب المساهمات وفقًا لجدول زمني مختلف؟
تمر الآلة الحاسبة خلال المدة شهرًا واحدًا في كل مرة. يتم ضرب الرصيد كل شهر في المعادل الشهري للمركب المختار: (1 + r/n)^(n/12) للمركب المنفصل وe^(r/12) للمركب المستمر. تتم إضافة المساهمات قبل ذلك الشهر '؛s النمو لتوقيت بداية الفترة، أو بعده لتوقيت نهاية الفترة، بالتكرار الذي تختاره: شهري أو ربع سنوي أو سنوي.
هناك نتيجتان تستحقان المعرفة:
- عند حدود كل عام، يتطابق المبلغ المقطوع مع الصيغة المغلقة تمامًا، مهما كان تكرار التركيب.
- عندما تكون المساهمات أكثر تواترا من المضاعفة، مثل الودائع الشهرية مع المضاعفة السنوية، فإن كل وديعة تكسب فائدة عن جزء السنة التي تكون فيها في الحساب، بمعدل معادل. بعض الحسابات الحقيقية لا تدفع سوى الفائدة الائتمانية على الرصيد في تاريخ التركيب، والتي تدفع أقل قليلاً. إذا كنت تقوم بتصميم حساب معين، فقم بمطابقة تواريخ التركيب والإيداع الخاصة به بالقدر الذي تسمح به الخيارات.
يتم فحص المدخلات قبل حساب أي شيء. يجب أن يكون المبلغ الأولي والمساهمة صفرًا أو أكثر ولا يزيد عن تريليون، ويجب أن يتراوح المعدل بين 0% و1000%، ويجب أن يكون المصطلح أكثر من صفر وعلى الأكثر 200 عام. يُسمح بالسنوات الكسرية وتقريبها إلى أقرب شهر كامل.
ما هي قاعدة 72، وما مدى دقتها؟
تقدر قاعدة 72 عدد السنوات التي يستغرقها المال للمضاعفة: اقسم 72 على معدل النسبة السنوية. إنه يعمل لأن مضاعفة الوقت هي ln(2) /ln (1 + r)، وللمعدلات في الأرقام الفردية التي تقترب من 72 /rate.
| معدل | قاعدة 72 تقدير | وقت المضاعفة الدقيق (التركيب السنوي) |
|---|---|---|
| 3% | 24 سنة | 23.4 سنة |
| 6% | 12 سنة | 11.9 سنة |
| 9% | 8 سنوات | 8.0 سنوات |
| 12% | 6 سنوات | 6.1 سنة |
إنه اختصار عقلي، جيد لمقارنة الخيارات في المحادثة. للحصول على خطة فعلية، استخدم الشكل الدقيق: أدخل المعدل والمصطلح في الآلة الحاسبة واقرأ السنة التي يمر فيها الجدول الزمني '؛s الرصيد الختامي أولاً بضعف البداية.
كيف تؤثر الضرائب والتضخم على التوقعات؟
نتائج الآلة الحاسبة '؛s اسمية وقبل الضريبة. يصفون الرقم الموجود في الحساب، وليس ما سيشتريه أو ما تحتفظ به.
التضخم هو التشويه الأكبر على المدى الطويل. لرؤية التوقعات في أموال اليوم '؛، أدخل سعرًا حقيقيًا بدلاً من السعر الاسمي. التحويل الدقيق هو:
real rate = (1 + nominal rate) / (1 + inflation rate) - 1
عند معدل تضخم اسمي 7% و3% يساوي 1.07/1.03 - 1 = 3.88%، أي أقل بقليل من نسبة 4% التي تحصل عليها عن طريق الطرح. قم بتشغيل المثال الافتراضي عند 3.88% وتقلصت نتيجة العشرين عامًا بشكل حاد، وهو أقرب إلى القوة الشرائية التي قد تكون لديك.
الضرائب تعتمد على الحساب. عادة ما يتم فرض ضريبة على الفائدة في حساب التوفير الخاضع للضريبة كل عام، مما يقلل من المركبات. حسابات التقاعد ذات المزايا الضريبية تؤجل أو تعفي تلك الضريبة. الآلة الحاسبة لا تمثل نموذجًا أيضًا، لذلك بالنسبة للحساب الخاضع للضريبة، فإن النهج التقريبي هو إدخال معدل ما بعد الضريبة.
ما هي أخطاء الفائدة المركبة الأكثر شيوعا؟
هذه هي الأخطاء التي تنتج إجابات خاطئة في أغلب الأحيان، يدويًا أو باستخدام أداة.
- إدخال معدل شهري في الحقل السنوي. الحساب الذي يقتبس 1% شهريًا هو 12% سنويًا اسميًا. يأخذ حقل المعدل الرقم السنوي، لذا أدخل 12، وليس 1.
- استخدام نسبة مئوية بدلاً من العلامة العشرية في الصيغة. باليد، 5% هو 0.05. التوصيل في 5 يعطي نتيجة سخيفة.
- مربكة APR وAPY. معدل الفائدة السنوية هو المعدل الاسمي؛ يتضمن APY بالفعل التركيب. يؤدي إدخال APY ثم اختيار المضاعفة المركبة شهريًا إلى حسابه قليلاً. إذا كنت تعرف APY فقط، فأدخله مع تحديد سنوي.
- نسيان توقيت المساهمة. تختلف بداية ونهاية الفترة بفترة فائدة واحدة على كل وديعة.
- التعامل مع الإسقاط كوعد. المعدل ثابت طوال المدة. تختلف عوائد الاستثمار الحقيقية من سنة إلى أخرى، لذا قم بتشغيل معدل منخفض ومتوسط ومرتفع لرؤية النطاق.
- تجاهل التضخم على مدى عقود. المليون خلال 30 عامًا ليس مليونًا اليوم.
كيف يرتبط الفائدة المركبة بالآلات الحاسبة الأخرى؟
تقع الفائدة المركبة وسط العديد من الأسئلة المالية، ولكل منها أداة أكثر ملاءمة.
| سؤال | أداة | لماذا |
|---|---|---|
| كم ستنمو مدخراتي؟ | حاسبة الفائدة المركبة | القيمة المستقبلية مع الودائع |
| ماذا سيكلفني القرض كل شهر؟ | حاسبة القروض | المدفوعات المطفأة وإجمالي الفوائد |
| ما هي النسبة المئوية التي نما فيها رصيدي؟ | حاسبة النسبة المئوية | نسبة التغير بين قيمتين |
| ما مقدار الهامش الذي يتركه السعر؟ | حاسبة هامش الربح | التكلفة والسعر والهامش |
جانب القرض هو صورة طبق الأصل لهذا الدليل: نفس حسابات المعدل الدوري، المطبقة على الرصيد الذي تدفعه. ال دليل القروض والأقساط الشهرية المتساوية يعمل من خلاله، و دليل حساب النسبة المئوية يغطي حساب النسبة المئوية للتغير المستخدم لوصف النمو. المجموعة الكاملة موجودة على محور الآلات الحاسبة.
هل حاسبة الفائدة المركبة خاصة؟
نعم. يتم تشغيل كل عملية حسابية من جانب العميل في متصفحك بلغة JavaScript عادية، ولا يتم إرسال المبالغ والمعدل وخطة المساهمة في أي مكان أبدًا. تحديث النتائج أثناء الكتابة. الشيء الوحيد المسجل هو عدد الاستخدامات عند الضغط على نسخ الملخص، الذي يحمل التكرار المركب وعدد السنوات، وليس أي مبالغ. تستمر الآلة الحاسبة في العمل بدون اتصال بمجرد تحميل الصفحة.
عندما يكون لديك أرقامك الخاصة، تشغيل إسقاط الفائدة المركبة بمعدل حذر أولاً، ثم متفائل، والتخطيط حول الفجوة بينهما.
