我花了很多時間查看描述工具 z.dev 上的工具如何執行的數字：頁面載入時間、客戶端轉換需要多長時間、每次運行的手動編碼器花費多少毫秒。 早些時候我報告了平均值，沒有其他東西，它讓我很生氣。 兩個版本的平均渲染時間相同，所以我發貨了「等效」一，用戶抱怨感覺很笨拙。 平均值相同；傳播不是。 一個構建穩定，另一個在快慢之間搖搖欲墜。 會抓到它的數字是標準差，在那之後我再也沒有相信沒有它的平均值。
TL;DR: 標準差衡量一組數字的分佈，與資料在同一單位中。 總體標準差將平方偏差的總和除以 N；樣本標準差除以 N 減 1（Bessel 校正），當您的資料是較大組的樣本時使用。 那個 標準差計算器 同時計算兩者，以及方差、平均值、中位數和模式，完全在您的瀏覽器中。
平均值是單點。 標準差是它周圍的寬度，兩者一起講述一個故事，既不單獨講。 本指南涵蓋了這個數字的含義、幾乎讓所有人都絆倒的人口與樣本決定、數學如何逐步運作，以及如何閱讀計算器返回的全套統計數據。
簡單地說，什麼是標準差？
標準差是值與其資料集平均值之間的典型距離。 小標準差意味著數值與平均值相擁而來，彼此相鄰。 一個大的意味著它們是分散的。 因為它與您的數據以相同的單位表示，所以可以直接解釋：如果考試成績的平均值為 75，標準差為 4，那麼大多數學生的得分大約在 75 分的 4 分以內。 如果標準差是 18，則全班全程，即使平均值相同。
最後一點是統計數據存在的原因。 參加兩個平均 75 的課程。 首先，分數從 70 到 80 集合。 第二節，一半的班級得了95分，一半得了55分。 相同的平均值，完全不同的類別，並且只有標準偏差暴露了差異。 那個 平均計算器 會很樂意給你 75 的； 標準差計算器 是區分他們。
標準差支撐著驚人的日常統計量：信賴區間、Z 分數、民調中的「加號或減號」、工廠線上的控制圖表和金融中的波動性衡量標準。 無論有人報告平均值然後承認它都會有所不同，標準差就是量化變化的東西。
總體標準差和樣本標準差有什麼不同?
這是人們弄錯的決定，它改變了答案，所以值得精確。 兩個版本的開頭方式相同：找到平均值，從每個值中減去它，將每個差分平方，然後將平方加起來。 拆分是你除以的。
總體標準差將平方偏差的平方和除以 n 值的數量。 當您的資料是您關心的整個群組時，您會使用它，而它之外什麼都沒有。 當您教的班級中每個學生的成績，當課程是您要描述的全部人口時，就是人口。
樣本標準差除以 n 減 1 而不是 n。當您的數字是抽取的樣本以代表更大的人口時，您會使用它，您無法完全測量。 一項針對 500 名選民支持一個國家的調查，或 30 次代表代碼理論上可以做的無限運行的渲染時間測量是樣本。
除以 n 減 1 稱為 Bessel 校正，它存在是為了修復偏差。 樣本幾乎總是低估其來自人口的真實分佈，因為樣本自己的平均值比實際人口平均值更接近自己的點。 平均而言，將分母從 n 減到 n 減 1 會使結果膨脹到足以糾正這一點。 這就是為什麼樣本標準差在同一數據上總是略大於總體 1，以及為什麼隨著樣本的增長而縮小：在 500 的 N 時，除以 500 和 499 之間的差異是微不足道的，但在 5 的 N 是真實的。
實用規則：如果有疑問，您的數字是更大樣本的樣本，請使用範例版本。 那個 標準差計算器 顯示雙方並排顯示，因此當您改變對哪個適用的想法時，您無需重新計算。
如何逐步計算標準差？
取教科書資料集 2、4、4、4、5、5、7、9，平均值為 5。 這是工具運行的完整計算：
| 步 | 操作 | 結果 |
|---|---|---|
| 1 | 平均值 = 總和 / 計數 = 40 / 8 | 5 |
| 2 | 偏離平均值 | -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4 |
| 3 | 平方偏差 | 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 |
| 4 | 平方和 | 32 |
| 5 | 人口差異 = 32 / 8 | 4 |
| 6 | 總體標準差 = sqrt(4) | 2 |
| 7 | 樣本變異數 = 32 / 7 | 4.571 |
| 8 | 樣本標準差 = SQRT(4.571) | 2.138 |
恰好 2 的總體標準差是此資料集顯示在每本統計教科書中的原因：它很乾淨。 請注意樣本值如何更大，這是貝塞爾在工作中的校正。 步驟 5 和 7 中的變異數是中間量：它是平均平方偏差，標準差只是它的平方根。 方差更難直接解釋，因為它是平方單位，這就是為什麼標準差，回到原始單位，是人們引用的數字。
計算器還報告了什麼？
標準差很少單獨傳播，所以 標準差計算器 一次傳回您的資料的完整描述性摘要：
| 統計 | 它告訴你什麼？ |
|---|---|
| 計數 | 解析了多少個值 |
| 項 | 所有值的總和 |
| 意思是 | 算術平均值 |
| 中位數 | 中間值，對異常值穩健 |
| 模式 | 最常見的值或值 |
| 最小/最大 | 極端 |
| 範圍 | 最大減去最小值，最粗略的擴散量測 |
| 變動 | 人口和樣本，平方單位傳播 |
| 平方和 | 方差背後的中間量 |
| 變異係數 | 標準差為平均值的百分比 |
變異係數是值得了解的，因為它單獨解決了標準差無法解決的問題。 平均 10 的數據和平均 10,000 的數據的標準差為 5。 將標準差除以平均值並將其表示為百分比，可以使分佈在完全不同的尺度上的數據集之間具有可比性，因此即使原始單位不同，您也可以說一組相對而言比另一組更具可變性。 只有當平均值不為零時才有意義，因此工具在這種情況下省略它，而不是除以零。
中值和模式完善了圖片。 當數據偏斜時，平均值和中位數會講述不同的故事，以及 平均計算器 指南更深入地了解原因。 為了理解傳播，中位數為您提供了一個抵抗中心來比較平均值：如果它們急劇發散，您就有異常值或偏差，並且應該考慮使用標準偏差來閱讀。
如何使用標準差計算器？
將您的數字貼或輸入到框框中。 解析器接受逗號、空格、分號、分頁和新行作為分隔符號，因此直接從電子表格複製的列在沒有重新格式化的情況下可以工作，而逗號分隔列表也是如此。 小數和負數都很好。
使用切換選擇人口或樣本。 樣本是預設值，因為它是更常見的真實情況，但是當您的數字是整個組時，請翻轉到總體。 當您編輯清單時，標題標準偏差和下面的每個統計數據都會立即更新。
一個有意的設計選擇：工具不會默默地丟棄它無法閱讀的輸入。 如果您貼上帶有雜散標籤、貨幣符號或作為文字傳遞的空白儲存格的列，它會按名稱標記有問題的標記，而不是在它所理解的值上悄悄地計算錯誤的答案。 靜音資料遺失是報告最終錯誤的方式，我寧願工具大聲抱怨。
與網站上的每個工具一樣，計算完全是客戶端。 您的資料集永遠不會上傳，這很重要，因為數字是工資、醫療測量或您不會貼到隨機網路表單中的任何內容。 背後的理由在於 資料隱私指南，相同的客戶端工程跨越更廣泛 web 開發人員工具包.
標準差出現在實際工作中
在你看到它在哪裡獲得收益之前，統計數據是抽象的，所以這裡是我去的地方。 在我開始的地方的性能工作中，它是快速工具和感覺快速工具之間的區別。 兩個函數可以共享一個平均延遲並表現完全不同：一個穩定，一個搖擺。 報告標準差是平均值，是您在用戶之前捕捉到的標準偏差，這就是為什麼嚴重的基準測試報告的傳播範圍是一種平均值。
在金融領域，標準差是波動性的標準衡量標準。 回報率較高但回報標準差大得多的基金顯然不會更好；它風險更高，這兩個數字加起來就是讓你權衡回報而不是追逐頭條平均值。 在製造和品質控制中，控制圖直接建立在標準偏差上：一個過程被考慮在控制中，而其輸出保持在目標的幾個標準差範圍內，而在價差擴大的那一刻，圖表在缺陷堆積之前標記了它。
在教育中，使用更安靜，但同樣真實。 一位看一組考試成績的老師從傳播中學到的比平均值還要多。 低標準差表示全班一致地理解材料；高個子說有些學生迷路，而有些學生則滑行，即使平均看起來不錯，這也需要不同的反應。 配對 標準差計算器 與 測壓機 將數字列表中的成績冊變成一堂課的表現。
在調查和研究工作中，樣本的標準差是朝著置信區間和誤差範圍的第一步。 「加號或減三點」在民調中是穿著外套的標準差，這正是在這種環境中樣本與人口的差異如此重要的原因。
標準差的常見錯誤
首先是選錯分母。 在樣本上使用人口公式會低估傳播，而對完整族群使用樣本公式略微誇大。 在大數據集上，差異可以忽略不計；在小數據集上並非如此，因此當人們最不小心時，選擇最重要。
第二個是比較以不同單位或規模測量的資料集的標準差。 12 公分和 12 公斤的標準差與原始數字無法比較。 這就是變異係數的用途，而達到原始標準差反而會產生自信的無意義。
第三個是對嚴重偏斜或異常重數據的信賴標準差。 因為它使偏差平方，所以一個極端值會使標準偏差大幅移動。 當一個數字是其他數字的十倍時，首先檢查平均值對手數；如果他們不同意，標準差是描述單一總結數字無法真正捕獲的分佈。 為了對成績等事情進行一致性檢查，將其與 測壓機 和 百分比計算器 為您提供完整的上下文，而不是孤立的數字。
常見問題
如何計算標準差?
求平均數，從每個值中減去它並平方結果，將這些平方加在一起，將 N 除以總體或樣本的 N 減 1，然後取平方根。 對於 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9，平均數為 5，平方偏差總和為 32，因此總體標準差是 32/8 的平方根，即 2。
總體標準差和樣本標準差有什麼不同?
總體標準差將平方偏差的平方和除以 n，當您的數字是整個組時使用。 樣本標準差除以 n 減 1，當您的數字是估計較大人口的樣本時，使用。 除以 n 減 1，稱為 Bessel 校正，可消除樣本估計中的向下偏差，因此樣本值總是略大。
我應該使用樣本公式還是總體公式?
當您擁有您關心的組的每個成員的資料時，請使用人口公式，例如您正在評分的整個班級的分數。 當您的數字被抽成代表更大的人口時，請使用樣本公式，這是研究和調查中更常見的案例。 當不確定時，樣品公式是傳統的安全選擇。
什麼是變異數以及它與標準差有何關係?
變異數是與平均值的平方偏差的平均值，標準差是它的平方根。 方差以平方為單位，因此更難直接解釋，而標準差則以資料的原始單位返回。 計算器報告總體變異數和樣本變異數以及標準差。
高標準差或低標準差意味著什麼?
低標準偏差意味著數值接近平均值和彼此，表示一致性。 一個高的意味著它們分佈在很寬的範圍內。 什麼是高或低取決於您的數據規模，這就是為什麼變異係數（標準差除以平均值）可用於比較。
我可以從電子表格中貼上一列數字嗎?
是的。計算器按逗號、空格、分號、製表符和新行進行分割,因此從 Excel 或 Google Sheets 複製的列可以正確讀取,無需重新格式化。支援小數和負數,並且任何非數字令牌都會被標記而不是被忽略。
變異係數是多少?
變異係數是以平均值的百分比表示的標準差。 因為它是無單位的，它可以讓你比較兩個在不同尺度上測量的資料集的相對可變性，例如高度與權重。 只有當平均值不為零時才有意義。
我的數據是私密的嗎？
是的。每次計算都在您的瀏覽器中以普通的 JavaScript 運行。您輸入的數字永遠不會被傳輸、記錄或存儲,並且一旦頁面加載,該工具就會在沒有網路連接的情況下繼續工作。
